تجزیه و تحلیل فراکتال و آنتروپی از شاخص داو جونز با استفاده از مقیاس چند بعدی

مجوز MDPI ، بازل ، سوئیس. این مقاله یک مقاله دسترسی آزاد است که تحت شرایط و ضوابط مجوز Creative Commons Attribution (CC توسط) توزیع شده است (http://creativeecommons.org/licenses/by/4. 0/).

خلاصه

سری زمانی مالی دارای ماهیت فراکتالی است که برای خصوصیات پویا آنها چالش هایی را ایجاد می کند. میانگین صنعتی داو جونز (DJIA) یکی از مؤثرترین شاخص های مالی است و به دلیل اهمیت آن ، به عنوان بستر آزمایشی برای این مطالعه پذیرفته می شود. این مقاله با پیوستن به ابزار محاسباتی مقیاس چند بعدی (MDS) و مفاهیم فاصله ، آنتروپی ، بعد فراکتال و حساب کسری ، یک استراتژی جایگزین برای تجزیه و تحلیل زمان استاندارد را بررسی می کند. اول ، چندین مسافت برای اندازه گیری شباهت های بین اشیاء مورد مطالعه و ارائه اطلاعات ورودی مناسب به MDS در نظر گرفته شده است. سپس ، MDS بازنمایی را بر اساس شباهت اشیاء ایجاد می کند ، جایی که می توان زمان را به عنوان یک متغیر پارامتری مشاهده کرد. توطئه های حاصل یک ساختار پیچیده را نشان می دهند که بیشتر با آنتروپی شانون و بعد فراکتال مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. در یک مرحله آخر ، ارزیابی عمیق تر و دقیق تر با مرتبط کردن مفاهیم حساب های کسری و آنتروپی حاصل می شود. در واقع ، آنتروپی مرتبه کسری نتایج به دست آمده توسط ابزارهای دیگر را برجسته می کند ، یعنی اینکه ماهیت فراکتال DJIA در مقیاس های مختلف با حافظه سفارش کسری قابل مشاهده است که سری زمانی را نفوذ می کند.

واژه های کلیدی: مقیاس بندی چند بعدی ، فراکتال ها ، حساب کسری ، شاخص های مالی ، آنتروپی ، داو جونز ، سیستم های پیچیده

1. معرفی

میانگین صنعتی داو جونز (DJIA) یا داو جونز ، شاخص بورس سهام است که منعکس کننده عملکرد سهام 30 شرکت مرتبط موجود در بورس اوراق بهادار ایالات متحده است. DJIA دومین مورد در بین شاخص های بازار ایالات متحده است و از 26 مه 1896 آغاز شده است. DJIA مشهورترین شاخص در امور مالی است و یک معیار اصلی برای ارزیابی روند جهانی تجارت در جهان است.

سری زمانی مالی منعکس کننده اثرات پیچیده بین انواع عوامل ناشی از فرآیندهای اقتصادی و اجتماعی، پدیده های ژئوفیزیکی، بحران سلامت و استراتژی های سیاسی است [1،2،3،4]. در حال حاضر، ما انواع شاخص های مالی را برای گرفتن پویایی بازارها و موسسات بورس پیدا می کنیم. به طور کلی، همه دارای ماهیت فراکتال با تغییراتی هستند که پیش بینی آنها دشوار است [5،6،7،8،9،10،11،12،13]. تعدادی از تکنیک ها برای بررسی شاخص های مالی و کشف پویایی های پیچیده تعبیه شده پیشنهاد شده است [14،15،16،17،18]. چنین مطالعاتی مفهوم زیربنایی جریان زمانی خطی را اتخاذ می کند و در نظر می گیرد که ماهیت فراکتالی شاخص ذاتی ماهیت مصنوعی آن است.

این مقاله تعامل بین مقادیر DJIA و جریان زمانی را بررسی می کند. فرض استاندارد امروزی این است که زمان یک توالی خطی پیوسته از رویدادها است که اغلب «پیکان زمان» نامیده می شود. ما باید روشن کنیم که (1) ماهیت متغیر زمان، چه پیوسته یا گسسته، چه با یک ریتم ثابت تغییرات یا نه، صرفاً تحت پرتو شاخص مالی است، به طوری که ما از قوانین کلاسیک فیزیک مستقل هستیم.، (ii) صرفاً DJIA پذیرفته شده است زیرا سایر شاخص های مالی همان نوع رفتار را نشان می دهند ، اما به سری های زمانی بسیار کوتاه تر محدود می شوند و (iii) هیچ پیش بینی مالی در نظر گرفته نشده است. بنابراین، آزمایش Gedanke در ادامه به بحث در مورد بافت زمان می پردازد [19،20،21،22]، اما فقط در محدوده محدود شاخص های مالی.

برای این منظور ، مفاهیم مقیاس گذاری چند بعدی (MDS) ، ابعاد کسری ، آنتروپی و حساب کسری به عنوان ابزاری مفید برای مقابله با سیستم های پیچیده مطرح می شوند. MDS ابزاری محاسباتی برای تجسم سطح شباهت بین موارد یک مجموعه داده است. MDS اطلاعات مربوط به مسافت های زوج را در بین مجموعه ای از موارد به پیکربندی نقاط نماینده یک فضای بازآموزی انتزاعی ترجمه می کند [23،24،25،26،27،28،29]. Mandelbrot کلمه "fractal" [30،31] را برای اشیاء پیچیده که در مقیاس های مختلف خودی هستند ، ابداع کرد. فراکتال ها را می توان با ابعاد به اصطلاح فراکتال توصیف کرد ، که ممکن است به عنوان پیچیدگی کمیت مشاهده شود [32،33،34]. تئوری اطلاعات توسط کلود شانون [35] معرفی شده است و به عنوان مفهوم اصلی محتوای اطلاعات یک رویداد خاص ، که یک عملکرد کاهش دهنده احتمال آن است [36،37،38،39] است. آنتروپی یک متغیر تصادفی میانگین مقدار اطلاعات است و ثابت شده است که ابزاری ارزشمند برای ارزیابی پدیده های پیچیده است [40،41،42]. حساب کسری (FC) شاخه ای از تجزیه و تحلیل ریاضی است که تمایز و ادغام با سفارشات واقعی یا پیچیده را تعمیم می دهد [43،44،45،46،47،48]. این موضوع توسط گوتفرید لیب نیتس در سال 1695 مطرح شد و تا قرن بیستم یک میدان عجیب و غریب باقی مانده است. در چند دهه اخیر ، FC به ابزاری محبوب برای تجزیه و تحلیل پدیده ها با حافظه دوربرد و غیر محلی تبدیل شد [49،50،51،52،53،54،55،56،57].

ارتباط این ابزارهای ریاضی و محاسباتی هنگام تجزیه و تحلیل شاخص های مالی ، دیدگاه های مربوطه را به همراه دارد [7،8،9،11،58،59،60،61].

با توجه به این ایده ها ، این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. بخش 2 مجموعه داده ها و روش ها را معرفی می کند و برخی از آزمایش های اولیه را با استفاده از MDS توسعه می دهد. بخش 3 به بررسی استفاده از تجزیه و تحلیل فراکتال و آنتروپی از مکانهای MDS می پردازد. سرانجام ، بخش 4 نتیجه گیری اصلی را به دست می آورد.

2. مجموعه داده ها و روش ها

2. 1مجموعه داده DJIA

این مجموعه داده شامل مقادیر نزدیک روزانه DJIA از 28 دسامبر 1959 ، تا 1 سپتامبر 2020 است که مربوط به یک سری زمانی T = 15،832 روز است که تقریباً نیم قرن را پوشش می دهد. هر هفته از 5 روز کاری تشکیل شده است و برخی از داده های مفقود شده به دلیل رویدادهای ویژه با استفاده از درون یابی خطی بین مقادیر مجاور برآورد شده است.

ما پویایی DJIA را با مقایسه مقادیر x (t) برای یک پنجره زمانی معین از روزهای t ارزیابی می کنیم. بنابراین ، بردار اول مقادیر DJIA از ξ i = x (1) ، ... ، x t w ، که در آن روزهای "1" و "t w" نشانگر نمونه های شروع و پایان زمان در پنجره زمان است. از این پس ، برای سادگی ، ما ویندوزهای زمان جداگانه را در نظر می گیریم و تعدادی از آزمایشات با داشتن مقادیر 5 روز. بنابراین ، تعداد کل ویندوزهای زمانی (و بردارها) n w = t t w است ، جایی که · عملکرد کف را نشان می دهد ، که به عنوان خروجی بیشترین عدد صحیح را کمتر از یا برابر با مقدار ورودی می دهد.

تکامل DJIA در زمان ، ماهیت فراکتالی را نشان می دهد که در شکل 1 نشان داده شده است. اگر هیستوگرام لگاریتم بازده ها را محاسبه کنیم ، یعنی l r = ln x (t + 1) x (t) ، ما یک رفتار پر سروصدا و دم های چربی در توزیع آماری را که در شکل 2 برای ویندوزهای زمان نشان داده شده است ، تأیید می کنیم. از T W = 60 روز.

مقادیر نزدیک روزانه DJIA از 28 دسامبر 1959 ، تا 1 سپتامبر 2020.

هیستوگرام لگاریتم بازده DJIA از 28 دسامبر 1959 ، تا 1 سپتامبر 2020 ، برای زمان ویندوز T W = 60 روز.

2. 2فاصله ها

DJIA Dynamics به طور غیرمستقیم از طریق MDS با مقایسه بردارها ξ i 1 ،… ، ξ i t w ، i = 1 ،… ، n w ، t = 1 ،… ، t w و تجزیه و تحلیل خواص طرح حاصل در چشم انداز مورد مطالعه قرار می گیرد. آنتروپی و بعد فراکتال. این روش نیاز به تعریف فاصله مناسب دارد [62]. یک تابع D: A × A → R در یک مجموعه A "فاصله" است وقتی که برای موارد ξ i ، ξ j ، ξ k ∈ A ، شرایط را برآورده می کند (i) d (ξ i ، ξ j) ≥0 (غیر منفی) ، (ii) d (ξ i ، ξ j) = 0 (هویت ناپایدار) اگر و فقط اگر ξ i = ξ j ، (iii) d (ξ i ، ξ j) = d (ξ) = d (ξJ ، ξ i) (تقارن) ، و (IV) D (ξ I ، ξ K) ≤ D (ξ I ، ξ J) + D (ξ J ، ξ K) (نابرابری مثلث). اگر سه شرط رعایت شود ، عملکرد "متریک" است و همراه با بازده "فضای متریک" است. بدیهی است که این شرایط هنوز امکان آزادی قابل توجهی را فراهم می کند ، و ما در ادبیات مجموعه ای از معیارهای احتمالی هر یک که دارای جوانب مثبت و منفی خود هستند ، می یابیم. در عمل ، کاربران اگر یک یا چند مسافت را به دست می آورند ، اگر به اندازه کافی ویژگی های موارد مورد ارزیابی را ضبط کنند ، اتخاذ می کنند. بنابراین ، ما با در نظر گرفتن یک نیمکت آزمایشی از 10 شاخص مجزا ، یعنی منهتن ، اقلیدسی ، چبیچف ، لورنتزیان ، سورنسن ، کانبرا ، کلارک ، واگرایی ، زاویه ای و جاکارد (که به عنوان) داده شده است [63]: داده شده است:

D I ، J M A = ∑ t = 1 t w ξ i (t) - ξ j (t) ، d i ، j e u = ∑ t = 1 t w ξ i (t) - ξ j (t) 2 ، D I ، J T C = MAX T ξ I (T) - ξ J (T) ، d i ، j l o = ∑ t = 1 t w log 1 + ξ i t - ξ j t ، d i ، j s o = ∑ t = 1 t w ξ i t - ξ j t ∑ t = 1 t w ξ i t + ξ j t ، D I ، J C A = ∑ t = 1 t w ξ i t - ξ j t ξ i t + ξ j t ، D I ، J C l = ∑ t = 1 t w ξ i t - ξ j t ξ i t + ξ j t 2 ، D I ، J D V = ∑ T = 1 T W ξ I (T) - ξ J (T) 2 ξ I (t) + ξ J (t) 2 ،

d i ، j a c = arccos r i j ، r i j = ∑ t = 1 t w ξ i (t) ξ j (t) ∑ t = 1 t w ξ i 2 (t) ∑ t = 1 t w ξ j 2 (t) ،

d i ، j j a = ∑ t = 1 t w ξ i (t) - ξ j (t) 2 ∑ t = 1 t w ξ i 2 (t) + ∑ t = 1 t w ξ j 2 (t) - ∑ t =1 t w ξ i (t) ξ j (t) ،

جایی که ξ i و ξ j ، i ، j = 1 ،… ، n w ، بردارهای i و j از سری زمانی DJIA هستند ، هر یک از ابعاد t w. مسافت های منهتن ، اقلیدسی و چبیچف موارد خاصی از مسافت minkowski d i ، j m i = ∑ t = 1 t w ξ i (t) - ξ j (t) q 1 q ، یعنی برای q = 1 ، q = 2 است. و Q → به ترتیب. فاصله لورنتزیان لگاریتم طبیعی را با تفاوت مطلق با 1 اضافه شده برای تضمین خاصیت غیر منفی و برای فرار از ورود به صفر اعمال می کند. ما در ادبیات چندین نسخه مجزا از فاصله Sørensen ، سرانجام با نام های دیگر ، و نمایانگر آماری که برای مقایسه شباهت بین دو نمونه استفاده می شود ، می یابیم. مسافت های کانبرا و کلارک نسخه های وزنی از مسافت منهتن و اقلیدسی هستند. این عبارات جایگزین ξ i (t) - ξ j (t) توسط ξ (t) - ξ j (t) / ξ i (t) + ξ j (t) و نسبت به تغییرات کوچک نزدیک صفر حساس هستند. مسافت كوزین زاویه ای از شباهت كسین r i j كه از محصول داخلی دو بردار ، ξ i · ξ J ناشی می شود ، دنبال می شود. فاصله کوشین زاویه ای d i ، j a c زاویه بین بردارها ξ i و ξ j را نشان می دهد. فاصله جاکارد نسبت اندازه تفاوت متقارن با اتحاد دو مجموعه است.

2. 3مکان MDS

پس از تعریف متریک برای مقایسه بردارها ، MDS نیاز به ساخت یک ماتریس D = D I ، J از مسافت مورد به ماده دارد. در مورد ما ، "مورد" با بردارهای t w-dim مطابقت دارد. بنابراین ، ماتریس مربع D متقارن است ، با مورب اصلی صفر و ابعاد n w × n w برابر با تعداد موارد است. الگوریتم محاسباتی MDS سعی می کند موارد را در یک فضای کم بعدی ترسیم کند تا کاربران بتوانند به راحتی روابط احتمالی را که کشف آن در تعداد زیادی از ابعاد دشوار است ، تجزیه و تحلیل کنند. به عبارت دیگر ، MDS موارد کاهش ابعاد و توطئه ها را در P انجام می دهد

MD های کلاسیک می توانند روش بهینه سازی را بر اساس انواع عملکردهای از دست دادن ، که اغلب "کرنش" نامیده می شوند ، انجام دهند که نوعی به حداقل رساندن جمع باقیمانده مربع ها است. MDS متریک روش بهینه سازی به نام "استرس" ، S D را تعمیم می دهد ، مانند:

S d ξ 1 ،… ، ξ = ∑ i ، j d ^ i ، j - d i ، j 2 1 2 ، S d ξ 1 ،… ، ξ = ∑ i ، j d ^ i ، j - d i ، j 2 ∑ i ، j d i ، j 2 1 2 ،

جایی که d i ، j = ξ i - ξ j ، i ، j = 1 ،… ، n w.

MDS تعمیم یافته گسترش فرمولاسیون متریک است ، به طوری که فضای مورد نظر یک فضای صاف و صاف غیر اقلیدسی است.

پس از به دست آوردن مختصات تخمین MDS از اشیاء x ^ i ، کاربر می تواند ابعاد P را برای تجسم تصمیم بگیرد. معمولاً مقادیر p = 2 و p = 3 از آنجا که اجازه نمایندگی مستقیم را می دهند انتخاب می شوند. علاوه بر این ، کیفیت تقریب MDS را می توان با استفاده از نمودارهای Sheppard و استرس ارزیابی کرد. نمودارهای Sheppard D ^ i ، J در مقابل D I ، J. اگر نقاط از یک خط مستقیم/خمیده پیروی کنند ، این به معنای یک رابطه خطی/غیر خطی است ، اما در هر دو مورد ، هرچه پراکندگی کوچکتر باشد ، تقریب بهتر می شود. یک ابزار ارزیابی دوم شامل طرح S D در مقابل ص است. معمولاً ، منحنی در ابتدا با کاهش زیاد در ابتدا کاهش می یابد و بعد از آن تغییر کند.

از آنجا که مکان MDS از اطلاعات نسبی (یعنی فاصله ها) حاصل می شود ، مختصات معمولاً معنای فیزیکی ندارند و کاربر می تواند بازنمایی را بچرخاند ، تغییر دهد یا بزرگنمایی کند تا دید بهتری داشته باشد. علاوه بر این ، مسافت های متمایز منجر به توطئه های مختلفی می شوند که از دیدگاه های ریاضی و محاسباتی صحیح هستند ، اما این نشان دهنده ویژگی های متمایز مجموعه داده است. بنابراین ، این وظیفه کاربر است که یک یا چند مسافت را انتخاب کند که جنبه های مجموعه داده مورد مطالعه را بهتر برجسته کند.

اغلب ، توصیه می شود قبل از محاسبه مسافت ، داده ها را قبل از پردازش قبل از پردازش به منظور کاهش حساسیت به برخی از جزئیات مانند واحدهای مختلف یا تغییر زیاد مقادیر عددی کاهش دهید. در مورد DJIA ، دو طرح پیش پردازش داده (که به آن عادی سازی یا تبدیل داده ها نیز گفته می شود) ، P 1 و P 2 در نظر گرفته شده است: (i) تفریق میانگین حسابی و تقسیم بر تغییر استاندارد ، که با محاسبهP 1: x (t) ← x (t) - μ σ ، جایی که μ = 1 t ∑ t = 1 t x (t) و σ = 1 t - 1 ∑ t = 1 t x (t) - μ 2 ،و (ب) با استفاده از لگاریتم به طوری که P 2: X (T) ← LG X T. تحول خطی P 1 اغلب در آمار و پردازش سیگنال تصویب می شود [64،65،66،67،68] ، در حالی که تحول غیر خطی P 2 را می توان با سیگنال هایی که نشان دهنده تکامل نمایی مانند است ، اتخاذ کرد [69،70،71، 72،73]. البته دیگر تحولات داده ها را می توان پیش بینی کرد ، اما این دو معمولاً پذیرفته می شوند. بنابراین ، سؤال اصلی در مورد این موضوع این است که درک کنیم که چه چیزی پیش پردازش را گسترش می دهد بر نتایج نهایی تأثیر می گذارد.

2. 3. 1. داده های پیش پردازش با استفاده از P 1

شکل 3 مکان MDS را برای P = 3 و T W = 60 روز نشان می دهد ، با پیش پردازش P 1 و استفاده از مسافت های Lorentzian و Canberra ، D I ، J L O و D I ، J C A. دایره بزرگتر نشان دهنده بردار اول است ، و خطوط دو نقطه متوالی (نمایانگر بردارها از دو ویندوز زمان متوالی) هستند. خطوط به سادگی برای اهداف کمکی و برای برجسته کردن ناپیوستگی ها درج شده اند. از الگوریتم مقیاس بندی چند بعدی MATLAB MDSCALE و از معیار نقشه برداری غیرخطی Sammon Sammon استفاده شد. شکل 4 نمودارهای مربوط به شپرد و استرس مربوط به فاصله کانبرا (1F) را نشان می دهد. به خاطر پارسیمونی ، نمودارهای دیگر نشان داده نمی شوند.

مکان مقیاس چند بعدی (MDS) ، x ^ i ، از مجموعه داده DJIA برای P = 3 و T W = 60 روز (N W = 263) ، با پیش پردازش P 1 و استفاده از Lorentzian (1D) و Canberra (1F)فاصله ها.

نمودار Sheppard ، D ^ I ، J در مقابل D I ، J ، برای P = 3 و طرح استرس ، S D در مقابل P ، از مجموعه داده DJIA با T = 60 روز ، با پیش پردازش P 1 و استفاده از فاصله Canberra(1F).

ما تأیید می کنیم که مکان های MDS بخش هایی را نشان می دهد که در آن ما یک تکامل تقریبا مداوم و دیگران با ناپیوستگی های قوی داریم. بخش های اول دینامیک نسبتاً صاف را به تصویر می کشند ، در حالی که موارد دوم از نظر تکنیک مسافت و تجسم تصویب شده ، تغییرات چشمگیر را نشان می دهند. این اثرات دینامیکی به همان روشی که با بازنمودهای زمان استاندارد خوانده نمی شوند. علاوه بر این ، تجسم آنها با توجه به نوع فاصله اتخاذ شده برای ساخت ماتریس d متفاوت است. این باید انتظار داشته باشد ، زیرا به خوبی شناخته شده است که هر مسافت مجموعه خاصی از خواص تعبیه شده در سری زمانی اصلی را برجسته می کند و انتخاب یکی از مسافت های بیشتر باید قبل از تصمیم گیری در مورد موارد به صورت موردی انجام شود. بیشتر با مجموعه داده سازگار است.

موضوع مرتبط دیگر تأثیر پنجره زمان t w بر نتایج است. به عبارت دیگر ، می توانیم بپرسیم که چگونه ابعاد بردار ξ i ، i = 1 ،… ، n w ، گرفتن دینامیک زمان DJIA ، بر نمایش MDS تأثیر می گذارد. به عنوان مثال ، شکل 5 محل MDS را برای P = 3 ، T W = 10 روز (N W = 1583) و فاصله Canberra (1E) نشان می دهد.

مکان MDS ، x i ^ ، از مجموعه داده DJIA برای p = 3 و t w = 10 روز (n w = 1583) ، با پیش پردازش p 1 و استفاده از فاصله کانبرا (1E).

2. 3. 2. داده های پیش پردازش با استفاده از P 2

شکل 6 محل MDS را برای p = 3 و t w = 60 روز ، با پیش پردازش p 2 و استفاده از مسافت های لورنتزیان و کانبرا ، D I ، J L O و D I ، J C A نشان می دهد. شکل 7 نمودارهای شپرد و استرس را برای فاصله کانبرا (1F) نشان می دهد.

مکان MDS ، x ^ i ، از مجموعه داده DJIA برای p = 3 و t w = 60 روز (n w = 263) ، با پیش پردازش p 2 و استفاده از فاصله های لورنتزیان (1D) و کانبرا (1F).

نمودار Sheppard ، D ^ I ، J در مقابل D I ، J ، برای P = 3 ، و طرح استرس ، S D در مقابل P ، مجموعه داده DJIA با T = 60 روز ، با پیش پردازش P 2 و استفاده از Canberraفاصله (1F).

ما همچنین می توانیم تأثیر پنجره زمان t w را بررسی کنیم. شکل 8 مکان MDS را برای p = 3 ، t w = 10 روز (n w = 1583) نشان می دهد ، و فاصله کانبرا (1E) ، دوباره ، کمی کمرنگ از نوسانات را نشان می دهد.

مکان MDS ، x i ^ ، از مجموعه داده DJIA برای p = 3 و t w = 10 روز (n w = 1583) ، با پیش پردازش p 2 و استفاده از فاصله کانبرا (1E).

همانطور که در زیر بخش قبلی ، ما مشاهده می کنیم که توطئه های MDS برخی از بخش ها را تقریباً با تکامل مداوم و برخی با ناپیوستگی نشان می دهند. علاوه بر این ، مانند گذشته ، افزایش T W باعث کاهش نوسانات در بازنمایی MDS می شود. این نتایج ، با مناطقی از تغییرات صاف ، که با تغییرات ناگهانی درگیر شده اند ، قبلاً مورد توجه قرار گرفتند زیرا آنها تأثیرات زمان نسبیتی را منعکس می کنند [74،75]. چنین پویایی به عنوان پرتره ای از ماهیت اساسی غیر صاف جریان متغیر زمان که اساسی در تکامل DJIA است ، تعبیر شد. با این وجود ، ما هنوز از درک جامع از مکان های MDS دور نیستیم و برای استخراج نتیجه گیری های اضافی باید ابزارهای اضافی را طراحی کنیم.

3. تجزیه و تحلیل فراکتال ، آنتروپی و کسری

ما ابعاد فراکتال و اقدامات آنتروپی را برای تجزیه و تحلیل پرتره های 3 DIM تولید شده توسط MDS در نظر می گیریم.

بعد فراکتال ، F D ، با تعیین کمیت نسبت تغییر در جزئیات به تغییر در مقیاس ، الگوی فراکتال یک شیء داده شده را مشخص می کند. انواع مختلفی از بعد فراکتال را می توان در ادبیات یافت. در مورد ما ، F D با استفاده از روش شمارش جعبه به عنوان نماینده قانون قدرت n ϵ = a ϵ - f d محاسبه می شود ، جایی که A پارامتر است که به شکل و اندازه جسم بستگی دارد و N و ϵ ایستاده استبرای تعداد جعبه های مورد نیاز برای گرفتن جسم و اندازه (یا مقیاس) جعبه به ترتیب. بنابراین ، F D می تواند به این صورت تخمین زده شود:

f d = - lim ϵ → 0 ln n ϵ ln ϵ.

آنتروپی یک متغیر تصادفی ، میانگین "اطلاعات" توزیع احتمال مربوطه است. سنگ بنای اصلی نظریه شانون شامل محتوای اطلاعات است که برای یک رویداد که احتمال وقوع P I را دارد ، توسط:

I P I = - Ln P I.

برای یک متغیر تصادفی 3-DIM X ، Y ، Z با توزیع احتمال p x y z ، آنتروپی شانون ، h x y z ، توسط:

h x y z = - ∑ x ∑ y ∑ z p x y z ln p x y z ،

جایی که - ln p x y z اطلاعات مربوط به این رویداد با احتمال p x y z است.

مفهوم آنتروپی را می توان در دامنه حساب کسری تعمیم داد [76،77،78،79،80،81،82،83،84،85،86]. این رویکرد با تنظیم ترتیب کسری ، آزادی بیشتری برای تطبیق اندازه گیری آنتروپی با پدیده مورد مطالعه می دهد. اطلاعات و آنتروپی سفارش α ∈ R توسط [77،87] داده شده است:

i α p i = d α i p i = - p i - α α γ α + 1 ln p i + ψ 1 - ψ 1 - α H x y z α = ∑ i - p i - α γ α + 1 ln p i + ψ 1 - ψ 1 - α p i

که در آن γ · و ψ · عملکردهای گاما و Digamma را نشان می دهد.

پارامتر α یک درجه آزادی اضافی برای تطبیق حساسیت محاسبه آنتروپی هر سری داده خاص می دهد.

از دیدگاه الگوریتمی ، این اقدامات برای ضبط و شمارش اشیاء ، نیاز به اتخاذ برخی از شبکه ها (یا جعبه) دارد ، تفاوت اصلی این است که بعد فراکتال فقط یک دیدگاه بولی از "1" و "0" را در نظر می گیرد ، یعنی جعبهیا کامل یا خالی است ، در حالی که آنتروپی تعداد تعداد در هر جعبه را در نظر می گیرد.

در پیگیری ، یک شبکه 3-DIM تعریف شده بین حداقل و حداکثر مقادیر به دست آمده برای هر محور محل MDS در نظر گرفته شده است. برای بعد فراکتال ، ما F D را با شیب N ϵ در مقابل ϵ برای 10 مقادیر کاهش اندازه جعبه بدست می آوریم. در مورد آنتروپی ، ما هنگام اتخاذ 20 سطل برای هر محور MDS ، H x y z را محاسبه می کنیم. خطوط کمکی که شیء را به هم وصل می کنند (یعنی نقاط) برای محاسبات در نظر گرفته نمی شوند.

شکل 9 و شکل 10 تنوع F D و H x y z با T W را نشان می دهد ، به ترتیب قبل از پردازش P 1 و P 2 ، هنگام استفاده از مسافت (1A)-(1J). برای t w ∈ 5 ،… ، 240 ، ما به طور متناوب MDS با n w (t w ∈ 3166 ،… ، 65) امتیاز داریم.

طرح ابعاد فراکتال ، F D و آنتروپی شانون ، H x y z ، در مقابل n w (t w ∈ 5 ،… ، 240) ، با پیش پردازش p 1 و استفاده از مسافت (1a)-(1J).

طرح ابعاد فراکتال ، F D و آنتروپی شانون ، H x y z ، در مقابل n w (t w ∈ 5 ،… ، 240) ، با پیش پردازش p 2 و استفاده از مسافت (1a)-(1J). منهتن ، اقلیدسی ، چبیچف ، لورنتزیان ، سورنسن ، کانبرا ، کلارک ، واگرایی ، زاویه ای و جاکارد (به عنوان مشخص شده).

ما به برخی از "سر و صدا" توجه می کنیم ، اما به دلیل ماهیت عددی آزمایشات باید انتظار داشت. به طور کلی ، دو شاخص با T W کاهش می یابد ، و دوباره اثر "فیلتر پاس پایین" از ابعاد پنجره زمان را نشان می دهد. ما تفاوت قابل توجهی از مقادیر f d و h x y z را برای مقادیر کوچک t w ، اما تثبیت و مقداری همگرایی به مقادیر نزدیکتر با افزایش t w توجه می کنیم.

در مورد آنتروپی کسری ، H x y z α ، می توانیم مقدار α را برای دستیابی به حداکثر حساسیت تنظیم کنیم. به عبارت دیگر ، ما می توانیم مقدار α M A X (H) را برای به دست آوردن حداکثر H x y z α انتخاب کنیم. شکل 11 و شکل 12 حداکثر h x y z α را در مقابل α m a x (h) با t w ∈ 5 ، 10 ،… ، 240 ، به ترتیب با پیش پردازش p 1 و p 2 به ترتیب نشان می دهد ، و با استفاده از مسافت (1a)-(1J)بشر

طرح α m a x (h) در مقابل حداکثر h x y z α ، با t w ∈ 5 ، 10 ،… ، 240 ، با پیش پردازش p 1 و استفاده از مسافت (1a)-(1J).

طرح α m a x (h) در مقابل حداکثر h x y z α ، با t w ∈ 5 ، 10 ،… ، 240 ، با پیش پردازش p 2 و استفاده از مسافت (1a)-(1J).

ما همبستگی قوی بین آنتروپی و مقدار ترتیب کسری را تأیید می کنیم. علاوه بر این ، ما توجه می کنیم که 0. 55 ≤ α M A X (H) 0. 75 and و 0. 57 ≤ α M A X (H) 0. 77 ≤ برای P 1 و P 2 به ترتیب ، به دور از مقادیر عدد صحیح و به وضوح نماینده پویایی کسری. برای ویندوزهای کوچک ، هر مسافت یک رفتار متمایز دارد ، اما وقتی پنجره زمانی افزایش می یابد ، تمام مسافت ها به نقاط مشابه α M A X (H) همگرا می شوند ، هم برای P 1 و هم P 2. بدیهی است که با پنجره های زمانی بزرگتر ، تعداد کمتری از نقاط در مکان MDS داریم و این نتیجه را تحت تأثیر قرار می دهد. همگرایی به سمت یک رفتار مشترک برای همه مسافت ها پس از اولین مقادیر t w مشاهده می شود. این بدان معنی است که ما در حال کشف دینامیک کسری هستیم ، این یک ویژگی از اثرات حافظه دوربرد است که در سری زمانی تعبیه شده است.

برای پیش پردازش P 1 ، فاصله واگرایی یک نقشه کمی از هم جدا شده در سمت چپ ایجاد می کند ، در حالی که برای P 2 ، می بینیم که این موقعیت مسافت واگرایی و جاکارد را اشغال می کند ، اما با یک رفتار فازی تر. مانند گذشته ، ما توجه می کنیم که نوع پیش پردازش هیچ اصلاح قابل توجهی از نتیجه گیری های جهانی ندارد.

4. نتیجه گیری

معمولاً زمان به عنوان یک جریان مداوم و خطی مشاهده می شود به طوری که هرگونه آشفتگی مانند نویز و نوسانات به طور خودکار به متغیر تحت تجزیه و تحلیل اختصاص می یابد. به عبارت دیگر ، از آنجا که ما موجوداتی در جریان زمان غوطه ور هستیم ، ظاهراً ما قادر به تمایز بین آشفتگی ها در زمان و متغیر اندازه گیری شده نیستیم. در این مقاله یک استراتژی جایگزین برای خواندن رابطه بین متغیرها مورد بررسی قرار گرفته است. برای این منظور ، DJIA ، از 28 دسامبر 1959 ، تا 1 سپتامبر 2020 ، به عنوان وسیله نقلیه آزمایش های عددی به تصویب رسید. این مجموعه داده با یک پدیده ساخته شده توسط انسان مطابقت دارد ، و بنابراین ، هرگونه حدس در مورد ماهیت زمان مستقل از برداشت های پذیرفته شده در مورد شار آن است. در رویکرد پیشنهادی ، سری زمانی به بردارهای مربوط به ویندوزهای زمان مشخص سازماندهی شد. سپس این بردارها با استفاده از مسافتی از مسافت ها و اطلاعات حاصل از آن در یک فضای سه بعدی با استفاده از MDS مقایسه شدند. در واقع ، نمایندگی MDS با "طرح ریزی سفارشی" از داده های با ابعاد بالا به یک فضای کم بعدی مطابقت دارد. با خوشحالی ، ما می توانیم "طرح ریزی سفارشی" بگوییم زیرا ما هیچ الزامی پیشینی را مطرح نمی کنیم ، الگوریتم صرفاً بر اساس ایده به حداقل رساندن تفاوت بین اندازه گیری های اصلی و مقدار تکرار شده (تقریبی) است. بنابراین ، MDS به طور خودکار موفقیت چنین "طرح ریزی" را تضمین نمی کند ، اما نتایج کیفیت با استفاده از نمودارهای استرس و شپرد ارزیابی می شود. در مورد DJIA و مسافت های اتخاذ شده ، کیفیت خوب تکنیک MDS تأیید شد.

مکانهای MDS با توجه به نوع فاصله اتخاذ شده برای مقایسه بردارها ، اشکال مشخصی دارند. بنابراین ، ابزارهای اضافی برای برجسته کردن ویژگی های اصلی این بازنمایی ها که زمان دیگر متغیر صریح نیست ، لازم بود. برای این منظور ، چندین ابزار ریاضی در نظر گرفته شد ، یعنی آنتروپی شانون و بعد فراکتال. در همه موارد ، ما با پنجره زمان ، تنوع را مشاهده کردیم ، که به دلیل درمان عددی این نوع داده ها به طور طبیعی رخ می دهد. آنتروپی شانون و ابعاد فراکتال همان نوع رفتار را به نمایش گذاشتند ، با تنوع تدریجی با پنجره زمان و تثبیت به سمت یک مقدار مشترک برای T W بزرگ. در حالی که این نتایج را می توان صرفاً به عنوان تأثیر فیلتر پاس کم ارائه شده توسط پنجره بزرگ زمانی خواند ، همچنین می توانیم پیش بینی کنیم که خاصیت دیگری که ذاتی DJIA است ، منشأ آنها است.

آنتروپی کسری برای تجزیه و تحلیل بیشتر محل MDS آورده شد. این ابزار باعث می شود حساسیت بهتری نسبت به آنتروپی شانون نسبت به مجموعه داده باشد ، زیرا کاربران می توانند محاسبات را با استفاده از ترتیب کسری تنظیم کنند. در مورد DJIA ، تنظیم α برای دستیابی به آنتروپی حداکثر نشان داد که چنین مقادیر مستقل از فاصله هستند ، بلکه به وضوح سفارشاتی را به دور از مقادیر عدد صحیح ، مشخصه پویایی کسری با اثرات غیر محلی داریم.

برخی از مفاهیم قابل بحث هستند و از ارتدوکسی استاندارد پیروی نمی کنند ، اما مجموعه آزمایشات با یک سری زمانی مصنوعی امکان تفکر در خارج از جعبه را فراهم می کند و یک استراتژی برای کاوش در بافت زمان از منظر آنتروپی و حساب کسری فراهم می کند.

منابع مالی

این تحقیق بودجه خارجی دریافت نکرد.

تضاد علاقه

نویسنده اعلام کرد هیچ تضادی در منافع نیست.